三、統計量與抽樣分布

　　樣本來(lái)自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息，但是這些信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來(lái)反映總體的特征，我們取得樣本之后，并不是直接利用樣本進(jìn)行推斷，而需要對樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”，把樣本中所包含的有關(guān)信息盡可能地集中起來(lái)，種有效的辦法就是針對不同的問(wèn)題，構造出樣本的某種函數，這就是統計量。不同的函數可以反映總體的不同的特征。

　　1、統計量把不含未知參數的樣本函數稱(chēng)為統計量。一個(gè)統計量也是一個(gè)隨機變量。

　　定義：設（X1，X2，…，Xn）為取自總體X的一個(gè)樣本，g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)連續函數，如果這個(gè)函數中不包含任何未知參數，則稱(chēng)g（X1，X2，…，Xn）為一個(gè)統計量。

　　例如，設X～N（m，s2），其中m已知，s2未知，（X1，X2，…，Xn）為取自X的樣本，則是統計量，%26shy；%26shy；%26shy；不是統計量。

　　統計量是樣本的函數，因而統計量是隨機變量。

　　由統計量進(jìn)行推斷，便可獲得對總體的認識，統計推斷是數理統計的核心內容。

　　2、抽樣分布統計量的分布稱(chēng)為抽樣分布。

　　例5：從均值為，方差為的總體中抽得一個(gè)樣本量為n的樣本，其中與均未知。

　　在此情形，是統計量；而，都不是統計量，因為后者包含，等未知參數。

　　3、常用統計量常用統計量可分為兩類(lèi)，一類(lèi)用來(lái)描述樣本的中心位置，另一類(lèi)用來(lái)描述樣本的分散程度。為此先介紹有序樣本的概念，再引入幾個(gè)常用統計量。

　　有序樣本設是從總體X中隨機抽取的樣本，樣本量為n，將它們的觀(guān)測值從小到大排列為：，這便是有序樣本。其中是樣本中的最小觀(guān)測值，是樣本中的最大觀(guān)測值。

　　例6、從某種合金強度總體中隨機抽取樣本量為5的樣本，記為，樣本觀(guān)測值為：140，150，155，130，145解析：將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155，這便是有序樣本，其中最小的觀(guān)測值為=30，最大的觀(guān)測值為=155.（1）描述樣本的中心位置的統計量總體中每一個(gè)個(gè)體的取值盡管是有差異的，但是總有一個(gè)中心位置，如樣本均值、樣本中位數等。描述樣本中心位置的統計量反映了總體的中心位置，常用的有以下幾種：

　�、贅颖揪�值樣本觀(guān)測值有大有小，樣本均值大致處于樣本的中間位置，它可以反映總體分布的均值。

　　例7、上例數據：，樣本觀(guān)測值為：140，150，155，130，145.樣本均值為=（140+150+155+130+145）/5=144.對分組數據，樣本均值的近似值為其中是分組數，是第組的組中值，是第組的頻數，。例8下表是經(jīng)過(guò)整理的分組數據表，給出了110個(gè)電子元件的失效時(shí)間：

　　分組區間[0，400][400，800）[800，1200）[1200，1600）[1600，2000）[2000，2400）

　　組中值xi2006001000140018002200頻數ni628372397解析：

　　平均失效時(shí)間近似為：

　　=1170.9②樣本中位數中位數有時(shí)也記為Me.當n為奇數，當n為偶數例9現有兩組數據（已經(jīng)排序）：2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，7，7，82，4，4，4，5，6，6，7，7，8，8，8，9，9解析：

　　第一組共有13個(gè)數據，處于中間位置的是第7個(gè)數據，樣本中位數即為。第二組共有14個(gè)數據，處于中間位置的是第7，8個(gè)數據，樣本中位數即為。（3）描述樣本數據分散程度的統計量總體中各個(gè)個(gè)體的取值總是有差別的，因此樣本的觀(guān)測值也是有差異的，這種差異有大有小，反映樣本數據的分散程度的統計量實(shí)際上反映了總體取值的分散程度，常用的有如下幾種：

　�、贅颖緲O差：

　　例10、數據為，樣本觀(guān)測值為：140，150，155，130，145，那么將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155解析：最小值為130，最大值為155，因此樣本極差R=155-130=25②樣本方差：

　　同樣，對分組數據來(lái)講，樣本方差的近似值為：

　　其中表示第i組的組中值。

　　例11、數據為，樣本觀(guān)測值為：140，150，155，130，145解析：

　　上式有兩個(gè)簡(jiǎn)化的計算公式：

　　樣本極差的計算十分簡(jiǎn)便，但對樣本中的信息利用得也較少，而樣本方差就能充分利用樣本中的信息，因此在實(shí)際中樣本方差比樣本極差用得更廣。

　�、蹣颖�標準差：

　　在上例中。在例8中，樣本標準差的意義：樣本方差盡管對數據的利用是充分的，但是方差的量綱（即數據的單位）是原始量綱的平方，例如樣本觀(guān)測值是長(cháng)度，單位是“毫米”，而方差的單位是“平方毫米”，單位不同就不便于比較，而采用樣本標準差就消除了單位的差異。